Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, plus précisément en combinatoire, le q-analogue de l'identité de Vandermonde (ou formule de convolution) s'écrit, en utilisant la notation standard des coefficients q-binomiaux :
.
Les contributions non nulles à cette somme proviennent des valeurs de j pour lesquelles les coefficients q-binomiaux sont non nuls, c'est-à-dire
.
La preuve habituelle de l'identité de Vandermonde simple consiste à développer le produit
de deux manières différentes. À la suite de Stanley[1], on peut procéder de manière similaire ; d'après le q-analogue de la formule du binôme, on a :
.
Mais on peut aussi écrire :
,
soit :
![{\displaystyle \prod _{k=0}^{m+n-1}(1+q^{k}X)=\left(\sum _{i}q^{\frac {i(i-1)}{2}}{\binom {m}{i}}_{\!\!q}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}q^{mj+{\frac {j(j-1)}{2}}}{\binom {n}{j}}_{\!\!q}X^{j}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee51a8ca81b9b49e412557cb3956c91356cd4db)
En identifiant les termes en
, et posant
, on obtient :
![{\displaystyle q^{\frac {k(k-1)}{2}}{\binom {m+n}{k}}_{\!\!q}=q^{\frac {(k-j)(k-j-1)}{2}}{\binom {m}{k-j}}_{\!\!q}\,q^{mj+{\frac {j(j-1)}{2}}}{\binom {n}{j}}_{\!\!q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94c36a8c3b6f4aac0dcd2ded8ce8070768e98e8)
ce qui donne le résultat annoncé en simplifiant l'exposant de q.